回答：
#{（2 + 2i）^ 5（-sqrt {3} + i）^ 3} /（sqrt {3} + i）^ 10#
#=（sqrt {3} -1）/ 2 +（sqrt {3} +1）/ 2 i#
说明：
在这个问题的另一个答案中，我猜测这个问题中有一个错字 #-3# 应该是 #-sqrt {3}#。我已经在评论中得到保证，事实并非如此，问题是正确的。
我不会重复我们的决心
#2 + 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ#
#sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ#
但现在我们必须转换 #-3 +我# 到三角形式。我们可以做到，但因为它不是Trig的首选三角形之一，所以它有点尴尬。
#| -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10}#
我们处于第二象限，反正切的主要值是第四象限。
# angle（-3 + i）= text {Arc} text {tan}（1 / { - 3}）+ 180 ^ circ#
#-3 + i = sqrt {10} text {cis}（文字{Arc} text {tan}（1 / { - 3}）+ 180 ^ circ）#
我们得到的是，De Moivre在这样的形式上效果不佳
#（ - 3 + i）^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis}（3（文本{Arc} text {tan}（1 / { - 3}）+ 180 ^ circ））#
但我们并没有陷入困境。因为指数只是 #3# 我们可以用三角公式做到这一点。让我们调用我们发现的恒定角度
#theta = angle（-3 + i）#
作者De Moivre，
#（ - 3 + i）^ 3 =（ sqrt {10} text {cis} theta）^ 3 = 10sqrt {10}（ cos（3theta）+ i sin（3 theta））#
我们知道
# cos theta = -3 / sqrt {10}，quad sin theta = 1 / sqrt {10}#
#cos（3 theta）= 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4（-3 / sqrt {10}）^ 3 - 3（ - 3 / sqrt {10}）= - （9 sqrt（10））/ 50#
#sin（3 theta）= 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3（1 / sqrt {10}） - 4（1 / sqrt {10}）^ 3 =（13 sqrt（10））/ 50#
#（-3 + i）^ 3 = 10sqrt {10}（sqrt {10} / 50）（ - 9 + 13 i）= -18 +26 i#
这似乎比立方更多的工作 #（ - 3 + I）：#
#（ - 3 + i）（ - 3 + i）（ - 3 + i）=（ - 3 + i）（8 -6i）= - 18 + 26 i quad sqrt#
好的，我们来做问题：
#{（2 + 2i）^ 5（-3 + i）^ 3} / {（sqrt {3} + i）^ {10}}#
#= {（2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ）^ 5（-3 + i）^ 3} / {（2 text {cis} 30 ^ circ）^ {10} }#
#=（{2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10）{ text {cis}（5 cdot 45 ^ circ）} / { text {cis}（10 cdot 30 ^ circ）}（ - 3 + i）^ 3#
#=（sqrt {2} / 8）{ text {cis}（225 ^ circ）} / { text {cis}（300 ^ circ）}（ - 3 + i）^ 3#
#=（sqrt {2} / 8） text {cis}（225 ^ circ - 300）（ - 3 + i）^ 3#
#=（sqrt {2} / 8）（ - 18 +26 i） text {cis}（ - 75 ^ circ）#
呃，它永远不会结束。我们得到了
#cos（-75 ^ circ）= cos 75 ^ circ = cos（45 ^ circ + 30 ^ circ）= sqrt {2} / 2（sqrt {3} / 2 - 1/2）= 1/4（sqrt {6} -sqrt {2}）#
#sin（-75 ^ circ）= - （sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30）= -sqrt {2} / 2（ sqrt {3} / 2 + 1/2）= - 1/4（ sqrt {6} + sqrt {2}）#
#{（2 + 2i）^ 5（-3 + i）^ 3} / {（sqrt {3} + i）^ {10}}#
#=（sqrt {2} / 8）（ - 18 +26 i）1/4（（sqrt {6} -sqrt {2}） - （sqrt {6} + sqrt {2}）i）#
#= {11 + 2 sqrt（3）} / 4 +（11 sqrt（3） - 2）/ 4 i#
