证明：tan ^ 5x =（（1 /（1-sinx）^ 2） - （1 /（1 + sinx）^ 2））/（（1 /（1-cosx）^ 2） - （1 /（ 1个+ cosx）^ 2）？

证明

#TG ^ = 5×（（1 /（1-sinx的）^ 2） - （1 /（1 + sinx的）^ 2））/（（1 /（1-cosx）^ 2） - （1 /（1+ cosx）^ 2）#

RHS

#=（（1 /（1-sinx的）^ 2） - （1 /（1 + sinx的）^ 2））/（（1 /（1-cosx）^ 2） - （1 /（1 + cosx）^ 2）#

#=（（（1 + sinx的）^ 2-（1- sinx的）^ 2）/（1-罪^ 2×）^ 2）/（（（1 + cosx ^ 2） - （1-cosx）^ 2） /（1-COS ^ 2×）^ 2）#

#=（（4sinx）/ COS ^ 4×）/（（4cosx）/（罪^ 4×））#

#= SIN ^ 5X /余弦^ 5X =黄褐色^ 5×= LHS#

证明

这是从右到左更容易工作的证明之一。从…开始：

#（（1 /（1-sinx的）^ 2） - （1 /（1 + sinx的）^ 2））/（（1 /（1-cosx）^ 2） - （1 /（1 + cosx）^ 2 ）#

通过“共轭”将嵌入分数的分子和分母相乘（例如 #1pmsinx# 上 #1 sinx#）。你得到了，例如， #（1 + sinx）（1-sinx）= 1-sin ^ 2x#.

#=（（（1 + sinx）/（（1-sin ^ 2x）（1-sinx））） - （（1-sinx）/（（1-sin ^ 2x）（1 + sinx））））/ （（（1 + cosx）/（（1-COS 2×^）（1-cosx））） - （（1-cosx）/（（1-COS ^ 2×）（1 + cosx）））#

重复上一步以进一步简化嵌入分数中的分母：

#=（（（1 + sinx）^ 2 /（（1-sin ^ 2x）^ 2）） - （（1-sinx）^ 2 /（（1-sin ^ 2x）^ 2）））/（（ （1 + cosx）^ 2 /（（1-COS ^ 2×）^ 2）） - （（1-cosx）^ 2 /（（1-COS ^ 2×）^ 2））#

使用身份 #1-sin ^ 2x = cos ^ 2x# 和 #1-cos ^ 2x = sin ^ 2x# 要得到：

#=（（（1 + sinx）^ 2 /（cos ^ 4x）） - （（1-sinx）^ 2 /（cos ^ 4x）））/（（（1 + cosx）^ 2 /（sin ^ 4x ）） - （（1-cosx）^ 2 /（SIN ^ 4×））#

合并分数并翻转以乘以倒数：

#=（（（1 + sinx）^ 2-（1-sinx）^ 2）/（cos ^ 4x））/（（（1 + cosx）^ 2-（1-cosx）^ 2）/（sin ^ 4倍））#

#=（（1 + sinx）^ 2-（1-sinx）^ 2）/（cos ^ 4x）*（sin ^ 4x）/（（1 + cosx）^ 2-（1-cosx）^ 2）#

扩展平方术语：

#=（取消（1）+ 2sinx +取消（sin ^ 2x） - （取消（1）-2sinx +取消（sin ^ 2x）））/（cos ^ 4x）*（sin ^ 4x）/（取消（1） ）+ 2cosx +取消（COS ^ 2×） - （取消（1）-2cosx +取消（COS ^ 2×）））#

#=（取消（4）sinx）/（cos ^ 4x）*（sin ^ 4x）/（取消（4）cosx）#

#= color（蓝色）（tan ^ 5x）#