回答：
见下文。
说明：
我们将调用顶点 #A =（4,4）#, #B =（9,7）# 和 #C =（8,6）#.
我们需要找到两个垂直于两边并穿过两个顶点的方程。我们可以找到两条边的斜率，从而找到两条垂直线的斜率。
AB斜率：
#(7-4)/(9-4)=3/5#
斜坡与此垂直：
#-5/3#
这必须通过顶点C，所以线的方程是：
#Y-6 = -5 / 3（X-8）#, #3Y = -5X + 58# 1
卑诗省的坡度：
#(6-7)/(8-9)=1#
斜坡与此垂直：
#-1#
这必须通过顶点A，所以线的方程是：
#Y-4 = - （X-4）#, #Y = -x + 8# 2
1和2相交的是中心点。
同时解决1和2：
#3（-x + 8）= - 5×+ 58#
#-3x + 24 = + -5X 58#
#-3x + 24 = 5×58 + => X = 34/2 = 17#
使用2：
#Y = -17 + 8 = -9#
垂心：
#(17, -9)#
因为三角形是钝角，所以正中心位于三角形之外。如果您延长高度线直到它们交叉，可以看到这一点。
回答：
垂心
#x_0 = 17，y_0 = -9#
外心
#X_0 = 2，y_0 = 13#
说明：
垂心
特定 #p_1，p_2，p_3# 和
#vec v_（12），vec v_（13），vec v_（23）# 这样的
#<< vec v_（12），p_2-p_1 >> = << vec v_（13），p_3-p_1 >> = << vec v_（23），p_3-p_2 >> = 0#
例如，容易获得那些矢量
#p_1 =（x_1，y_1）# 和 #p_2 =（x_2，y_2）# 然后
#vec v_（12）=（y_1-y_2， - （x_1-x_2））#
现在我们有
#L_1 - > p_1 + lambda_1 vec v_（23）#
#L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_（13）#
#L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_（12）#
这三条线在三角形的中心点相交
选择 #L_1，L_2# 我们有
#（x_0，y_0）=“arg”（L_1 nn L_2）# 要么
#p_1 + lambda_1 vec v_（23）= p_2 + lambda_2 vec v_（13）#
给出方程式
#{（<< vec v_（13），vec v_（23）>> lambda_1- << vec v_（13），vec v_（13）>> lambda_2 = << p_2-p_1，vec v_（13）>> ），（<< vec v_（23），vec v_（23）>> lambda_1- << vec v_（23），vec v_（13）>> lambda_2 = << p_2-p_1，vec v_（23）>> ）：}#
现在正在解决 #lambda_1，lambda_2# 我们有
#lambda_1 = -4，lambda_2 = -13#
然后
#p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_（23）= p_2 + lambda_2 vec v_（13）=（17，-9）#
外心
圆周方程由下式给出
#C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0#
现在如果 C#中的#{p_1，p_2，p_3} 我们有
#{（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0），（x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0），（x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0）：}#
从第二个减去第一个
#x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2）-2x_0（x_2-x_1）-2y_0（y_2-y_1）= 0#
从第三个中减去第一个
#x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-（x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2）-2x_0（x_3-x_1）-2y_0（y_3-y_1）= 0#
给出方程组
#（（x_2-x_1，y_2-y_1），（x_3-x_1，y_3-y_1））（（x_0），（y_0））= 1/2（（x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-（x_1 ^ 2 + Y_1 ^ 2）），（X_3 ^ 2 + Y_3 ^ 2-（X_1 ^ 2 + Y_1 ^ 2）））#
现在替换我们得到的给定值
#X_0 = 2，y_0 = 13#
附图显示了中心点（红色）和外心点（蓝色）。
