回答：
请看下面。
说明：
我们采取 ，
#LHS = tan 20 ^ circ + tan80 ^ circ + tan140 ^ circ#
#COLOR（白色）（左轴）= tan20 ^ CIRC +黄褐色（60 ^ CIRC + 20 ^ CIRC）+黄褐色（120 ^ CIRC + 20 ^ CIRC）#
#COLOR（白色）（左轴）#=#tan20 ^ CIRC +（tan60 ^ CIRC + tan20 ^ CIRC）/（1-tan60 ^ circtan20 ^ CIRC）+（tan120 ^ CIRC + tan20 ^ CIRC）/（1-tan120 ^ circtan20 ^ CIRC）#
SUBST。 #color（蓝色）（tan60 ^ circ = sqrt3，tan120 ^ circ = -sqrt3和tan20 ^ circ = t#
#LHS = T +（sqrt3 + T）/（1-sqrt3t）+（ - sqrt3 + T）/（1 + sqrt3t）#
#COLOR（白色）（左轴）= T + {（sqrt3 + T）（1 + sqrt3t）+（ - sqrt3 + T）（1-sqrt3t））/（（1-sqrt3t）（1个+ sqrt3t））#
#COLOR（白色）（左轴）= T +（sqrt3 + 3T + T + sqrt3t ^ 2-sqrt3 + 3T +叔sqrt3t ^ 2）/（1-3T ^ 2）#
#COLOR（白色）（左轴）= T +（8T）/（1-3T ^ 2）#
#COLOR（白色）（LHS）=（T-3T ^ 3 + 8T）/（1-3T ^ 2）#
#COLOR（白色）（LHS）=（9吨-3T ^ 3）/（1-3T ^ 2）#
#COLOR（白色）（左轴）= 3 （3T-T ^ 3）/（1-3T ^ 2） towhere，颜色（蓝色）（T = tan20 ^ CIRC#
#color（白色）（LHS）= 3 （3tan20 ^ circ-tan ^ 3 20 ^ circ）/（1-3tan ^ 2 20 ^ circ）#
#COLOR（白色）（左轴）= 3 tan3（20 ^ CIRC） toApply（2）# 对于 #THETA = 20 ^ CIRC#
#LHS = 3tan60 ^ CIRC#
#LHS = 3sqrt3 = RHS#
注意 ：
#（1）tan（A + B）=（tanA + tanB）/（1-tanAtanB）#
#（2）tan3theta =（3tantheta晒黑^ 3theta）/（1-3tan ^的2θ）#
#LHS = tan20 + tan80 + tan140#
#= tan20 + tan80 +黄褐色（180-40）#
#= tan20 + tan80-tan 40#
#= tan20 + sin 80 / cos 80-sin 40 / cos 40#
#= sin 20 / cos 20+（sin 80cos 40-cos 80sin 40）/（cos 80cos 40）#
#=（sin 20cos 80cos 40 + sin 40cos 20）/（cos 20cos 80cos 40）#
现在这个表达的分母
#= cos 20cos 80cos 40#
#=（4 * 2sin 20cos 20cos 40cos 80）/（8sin 20）#
#=（2 * 2sin 40cos 40cos 80）/（8sin 20）#
#=（2sin 80cos 80）/（8sin 20）#
#=（sin 160）/（8sin 20）#
#=（sin（180-20））/（8sin 20）#
#=（罪恶20）/（8sin 20）#
#=1/8#
于是
#LHS = 8（sin 20cos 80cos 40 + sin 40cos 20）#
#= 4sin 20 *（2cos 80cos 40）+ 4 * 2sin 40cos 20#
#= 4sin 20（cos 120 + cos 40）+4（sin 60 + sin 20）#
#= 4sin 20（-1 / 2 + cos 40）+4（sqrt3 / 2 + sin 20）#
#= - 2sin 20 + 4sin 20cos 40 + 2sqrt3 + 4sin 20#
#= 4sin 20cos 40 + 2sqrt3 + 2sin 20#
#= 2（sin 60-sin 20）+ 2sqrt3 + 2sin 20#
#= 2（sqrt3 / 2-sin 20）+ 2sqrt3 + 2sin 20#
#= sqrt3-2sin 20 + 2sqrt3 + 2sin 20#
#= 3sqrt3#
一个有趣的方法利用anwer #3sqrt3# 给出。
如我们所知，我们可以按如下方式编写LHS #sqrt3 = tan 60#
#LHS = tan 20 + tan 80 + tan 140#
#= 3sqrt3 +（棕褐色20-tan 60）+（棕褐色80-tan 60）+（棕褐色140-tan 60）#
#= 3sqrt3 +（棕褐色20-tan 60）+（棕褐色80-tan 60）+（棕褐色（180-40）-tan 60）#
#= 3sqrt3 +（棕褐色20-tan 60）+（棕褐色80-tan 60） - （棕褐色40 +棕褐色60）#
#= 3sqrt3 +（sin 20 / cos 20-sin 60 / cos60）+（sin 80 / cos 80-sin 60 / cos60） - （sin 40 / cos40 + sin 60 / cos60）#
#= 3sqrt3-sin（60-20）/（cos 20cos60）+ sin（80-60）/（cos 80cos60）-sin（60 + 40）/（cos40cos60）#
#= 3sqrt3-（2sin 40）/ cos 20+（2sin 20）/ cos 80-（2sin 100）/ cos 40#
#= 3sqrt3-（4sin 20cos 20）/ cos 20+（4sin 10 cos 10）/ sin 10-（4sin 40cos 40）/ cos 40#
#= 3sqrt3-4sin 20 + 4cos 10-4sin 40#
#= 3sqrt3-4（罪恶20 +罪恶40）+ 4cos 10#
#= 3sqrt3-4（2 sin 30cos1 0）+ 4cos 10#
#= 3sqrt3-4（2 * 1/2 * cos1 0）+ 4cos 10#
#= 3sqrt3-4cos 10 + 4cos 10#
#= 3sqrt3#
回答：
解释如下
说明：
#X = tan20 + tan80 + tan140#
=#sin20 / cos20 + sin80 / cos80 +黄褐色（180-40）#
=#（cos80 * sin20 + sin80 * cos20）/（cos80 * cos20）-tan40#
=#sin（80 + 20）/（cos80 * cos20）-sin40 / cos40#
=#sin100 /（cos80 * cos20）-sin40 / cos40#
=#sin80 /（cos80 * cos20）-sin40 / cos40#
=#（sin80 * cos40-cos80 * sin40 * cos20）/（cos80 * cos40 * cos20）#
=#（sin20 *（8sin80 * cos40-8cos80 * sin40 * cos20））/（8cos80 * cos40 * cos20 * sin20）#
=#（sin20 *（4sin120 + 4sin40-4cos20 *（sin120-sin40）））/（4cos80 * cos40 * sin40）#
=#（sin20 *（4sin120 + 4sin40-4sin120 * cos20 + 4sin40 * cos20））/（2cos80 * sin80）#
=#（sin20 *（4sin60 + 4sin40-4sin60 * cos20 + 4sin40 * cos20））/（sin160）#
=#（sin20 *（4sin60 + 4sin40-2sin80-2sin40 + 2sin60 + 2sin20））/（sin20）#
=#6sin60 + 2sin40-2sin80 + 2sin20#
=#3sqrt3 + 2sin20-（2sin80-2sin40）#
=#3sqrt3 + 2sin20-4cos60 * sin20#
=#3sqrt3 + 2sin20-2sin20#
=#3sqrt3#
