只要知道三角形的三个边的长度，就可以使用它。
我希望这有用。
回答：
苍鹭的配方几乎总是使用错误的公式;尝试阿基米德定理的三角形区域 #一个# 和双方 #A，B，C#:
#16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - （a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2）^ 2#
#quad =（a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2）^ 2 - 2（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
#quad =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#
#quad = 16s（s-a）（s-b）（s-c）# 哪里 #S = 1/2（A + B + C）#
最后是苍白的苍鹭。
说明：
亚历山大的英雄在公元一世纪写道。为什么我们继续用他的结果折磨学生当有更好的现代等价物我不知道。
苍鹭的区域配方 #一个# 有边的三角形 #A，B，C# 是
#A = sqrt {s（s-a）（s-b）（s-c）}# 哪里 #S = 1/2（A + B + C）# 是半透镜。
毫无疑问，这个公式很棒。但是因为分数而使用它很尴尬，如果我们从坐标开始，则是四个平方根。
我们来做数学吧。我们正方形和消除 #小号# 这主要是为了隐藏一个 #16# 和一个重要的分解。您可能想先自己尝试一下。
#A ^ 2 = 1/2（a + b + c）（1/2（a + b + c）-a）（1/2（a + b + c）-b）（1/2（a +） b + c）-c）#
#A ^ 2 = 1/2（a + b + c）（1/2（-a + b + c））（1/2（a-b + c））（1/2（a + bc）） #
#16A ^ 2 =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#
这已经比Heron的形式好多了。我们将分数保存到最后，并且不再对半透明度的含义感到疑惑。
堕落的情况正在说明。当具有减号的那些因子中的一个为零时，那就是当双方恰好相加到另一侧时。那些是三个共线点之间的距离，即退化三角形，我们得到零面积。说得通。
该 #A + B + C# 因素很有趣。它告诉我们的是，如果我们使用位移，有符号长度而不是所有正数，这个公式仍然有用。
使用给定坐标的公式仍然很难。让我们把它加倍;你可能想亲自尝试一下;
#16A ^ 2 =（a + b + c）（ - a + b + c）（a-b + c）（a + b-c）#
#=（-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2）（a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2）#
#=（-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc）（a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc）#
#=（-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc）（a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc）#
#16A ^ 2 = 2（a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2） - （a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
该形式仅取决于长度的平方。它显然是完全对称的。我们现在可以超越苍鹭，并说如果 平方长度 是理性的，平方区也是如此。
但如果我们注意到，我们可以做得更好
#（a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2）^ 2 =（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）+2（a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 ）#
减，
#16A ^ 2 =（a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2）^ 2 - 2（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
这是最漂亮的形式。
有一种不对称的外观形式，通常是最有用的。我们注意到
#（a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2）^ 2 =（a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）-2（-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2）#
将此添加到
#16A ^ 2 = 2（a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2） - （a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4）#
#16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - （a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2）^ 2#
这是最有用的形式。有三种方法可以写它，交换边。
这些被称为阿基米德定理，来自NJ Wildberger的Rational Trigonometry。
当给出2D坐标时，Shoelace公式通常是该区域的最快路径，但我会将其保存为其他帖子。
