回答：
请参考 讨论 在里面 说明。
说明：
让，
#| z_j | = r_j; r_j gt 0和arg（z_j）= theta_j in（-pi，pi;（j = 1,2）。#
#:. z_j = r_j（costheta_j + isintheta_j），j = 1,2。#
显然， #（Z_1 + Z_2）= R_1（costheta_1 + isintheta_1）+ R_2（costheta_2 + isintheta_2），#
#=（r_1costheta_1 + r_2costheta_2）+ I（r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2）。#
回想起那个， #z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2.#
#:. |（Z_1 + Z_2）| ^ 2 =（r_1costheta_1 + r_2costheta_2）^ 2 +（r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2）^ 2，#
#= R_1 ^ 2（COS ^ 2theta_1 +罪^ 2theta_1）+ R_2 ^ 2（COS ^ 2theta_2 +罪^ 2theta_2）+ 2r_1r_2（costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2），#
#= R_1 ^ 2 + R_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos（theta_1-theta_2），#
#rArr | Z_1 + Z_2 | ^ 2 = R_1 ^ 2 + R_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos（theta_1-theta_2）….（星^ 1）#.
#“现在给出了，”| z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |，#
#iff |（z_1 + z_2）| ^ 2 =（| z_1 | + | z_2 |）^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |，即。，#.
#|（z_1 + z_2）| ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 …….（star ^ 2）。#
从 #（star ^ 1）和（star ^ 2）# 我们明白了
#2r_1r_2cos（theta_1-theta_2）= r_1r_2。#
#“正在取消”r_1r_2 gt 0，cos（theta_1-theta_2）= 1 = cos0。#
#:. （theta_1-theta_2）= 2kpi + -0，ZZ中的k。#
#“但是，”theta_1，theta_2 in（pi，pi），theta_1-theta_2 = 0，或者，#
#theta_1 = theta_2，“give”，arg（z_1）= arg（z_2），# 如 期望！
因此，我们已经表明，
#| Z_1 + Z_2 | = | Z_1 | + | Z_2 | rArr arg（z_1）= arg（z_2）。#
该 交谈 可以在类似的路线上证明。
享受数学。！
