你如何识别圆锥曲线的类型4x ^ 2 + 8y ^ 2-8x-24 = 4，如果有的话，如果方程确实代表圆锥曲线，则说明它的顶点或中心？

回答：

椭圆

圆锥曲线可以表示为

#p cdot M cdot p + << p，{a，b} >> + c = 0#

哪里 #p = {x，y}# 和

#M =（（m_ {11}，m_ {12}），（m_ {21}，m_ {22}））#.

对于圆锥形 #m_ {12} = m_ {21}# 然后 #M# 特征值总是真实的，因为矩阵是对称的。

特征多项式是

#P（拉姆达）=拉姆达^ 2-（M_ {11} + {M_ 22}）拉姆达+ DET（M）#

根据它们的根，圆锥曲线可以归类为

1）等于---圆

2）相同的符号和不同的绝对值---椭圆

3）标志不同---双曲线

4）一个空根---抛物线

在目前的情况下，我们有

#M =（（4,0），（0,8））#

具有特征多项式

#拉姆达^ 2-12lambda + 32 = 0#

有根 #{4,8}# 所以我们有一个椭圆。

作为一个椭圆，它有一个规范的表示

#（（X-X_0）/ A）^ 2 +（（Y-y_0）/ B）^ 2 = 1#

#X_0，y_0，A，B# 可以如下确定

#4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28 - （b ^ 2（x-x_0）^ 2 + a ^ 2（y-y_0）^ 2-a ^ 2b ^ 2）= 0 forall x in RR#

给

#{（ - 28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0），（2 a ^ 2 y_0 = 0），（8 - a ^ 2 = 0），（-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0），（4 - b ^ 2 = 0）：}#

解决我们得到

#{a ^ 2 = 8，b ^ 2 = 4，x_0 = 1，y_0 = 0}#

所以

#{4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {（x-1）^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1}#