如何简化（sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1）cosx？

回答：

#^ COS#5倍

一旦你认识到它涉及一个小代数，这种类型的问题真的不是那么糟糕！

首先，我将重写给定的表达式，以使以下步骤更容易理解。我们知道 #^罪#2倍只是一种更简单的写作方式 #（sin x）^ 2#。同样的， #sin ^ 4x =（sin x）^ 4#.

我们现在可以重写原始表达式。

#（sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1）cos x#

#= （sin x）^ 4 - 2（sin x）^ 2 + 1 cos x#

现在，这是涉及代数的部分。让 #sin x = a#。我们可以写 #（sin x）^ 4 - 2（sin x）^ 2 + 1# 如

#a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1#

这看起来很熟悉吗？我们只需要考虑这一点！这是一个完美的方形三项式。以来 #a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 =（a-b）^ 2#，我们可以说

#a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 =（a ^ 2 - 1）^ 2#

现在，切换回原来的情况。再替代 #sin x# 对于 #一个#.

#（sin x）^ 4 - 2（sin x）^ 2 + 1 cos x#

#= （sin x）^ 2 -1 ^ 2 cos x#

#=（颜色（蓝色）（sin ^ 2x - 1））^ 2 cos x#

我们现在可以使用三角标识来简化蓝色条款。重新排列身份 #sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1#，我们得到 #color（蓝色）（sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x）#.

#=（颜色（蓝色）（ - cos ^ 2x））^ 2 cos x#

一旦我们解决这个问题，负面信号就会成倍增加。

#=（cos ^ 4x）cos x#

#= COS ^ 5倍#

从而， #（sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1）cos x = cos ^ 5x#.