请帮帮我，怎么做？

回答：

#k = 3#

说明：

使用指数的属性 #（ab）^ x = a ^ xb ^ x# 和 #（a ^ x）^ y = a ^（xy）#， 我们有

#24 ^ k =（2 ^ 3 * 3 ^ 1）^ k =（2 ^ 3）^ k *（3 ^ 1）^ k = 2 ^（3k）* 3 ^ k#

从而 #13!# 是可以被整除的 #24 ^ K# 当且仅当 #13!# 是可以被整除的 #2 ^（3K）# 并且可被整除 #3 ^ K#.

我们可以说出最强大的力量 #2# 由哪个 #13!# 如果我们看看它可以被整除的因素，就可以被整除 #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

因为没有一个奇怪的因素贡献任何因素 #2#， 我们有

#13！ =（2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2）* m = 2 ^（10）* m#

哪里 #M# 是一些不能被整除的整数 #2#。因此，我们知道这一点 #13!# 是可以被整除的 #2 ^（3K）# 当且仅当 #2^10# 是可以被整除的 #2 ^（3K）#，意思 #3k <= 10#。如 #K# 是一个整数，这意味着 #k <= 3#.

接下来，我们可以看看哪些因素 #13!# 可被整除 #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

由于没有其他因素 #13!# 贡献任何因素 #3#， 这意味着

#13！ =（3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1）* n = 3 ^ 5 * n#

哪里 #N# 是一些不能被整除的整数 #3#。因此，我们知道这一点 #3^5# 是可以被整除的 #3 ^ K#，意思 #k <= 5#.

满足约束的最大非负整数 #K <= 3# 和 #K <= 5# 是 #3#，给我们答案 #K = 3#.

计算器将验证 #(13!)/24^3 = 450450#，而 #(13!)/24^4=18768.75#