已知方程bx ^ 2-（a-3b）x + b = 0具有一个实根。证明方程x ^ 2 +（a-b）x +（ab-b ^ 2 + 1）= 0没有真正的根。

回答：

见下文。

说明：

的根源 #BX ^ 2-（-3B）X + B = 0# 是

#x =（a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2）/（2 b）#

如果，根将是巧合和真实的

#a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 =（a - 5 b）（a - b）= 0#

要么

#A = B# 要么 #a = 5b#

现在解决

#的x ^ 2 +（AB）X +（AB-B ^ 2 + 1）= 0# 我们有

#x = 1/2（-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4）#

复杂根的条件是

#a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0#

现在正在制作 #a = b# 要么 #a = 5b# 我们有

#a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0#

结论，如果 #BX ^ 2-（-3B）X + B = 0# 那是巧合的真实根源 #的x ^ 2 +（AB）X +（AB-B ^ 2 + 1）= 0# 会有复杂的根源。

我们得到了等式：

#bx ^ 2-（a-3b）x + b = 0#

有一个真正的根，因此这个等式的判别式为零：

#Delta = 0#

#=>（ - （a-3b））^ 2 - 4（b）（b）= 0#

#:. （a-3b）^ 2 - 4b ^ 2 = 0#

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0#

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0#

#:. （a-5b）（a-b）= 0#

#:. A = B#， 要么 #a = 5b#

我们试图显示等式：

#x ^ 2 +（a-b）x +（ab-b ^ 2 + 1）= 0#

没有真正的根源。这需要一个否定的判别。这个等式的判别式是：

#Delta =（a-b）^ 2 - 4（1）（ab-b ^ 2 + 1）#

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4#

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4#

现在让我们考虑满足第一个等式的两种可能情况：

情况1： #A = B#

#Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4#

# =（b）^ 2-6（b）b + 5b ^ 2-4#

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4#

# = -4 #

# lt 0#

案例2： #A = 5B#

#Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4#

# =（5b）^ 2-6（5b）b + 5b ^ 2-4#

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4#

# = -4 #

# lt 0#

因此，第一个等式的条件使得第二个等式总是具有负判别式，因此具有复杂的根（即没有实根），QED