回答：
说明：
圆圈的面积是 #PIR ^ 2#.
注意到斜边的正三角形 #R· 和腿 #R· 在等边三角形的底部，通过三角学或其特性 #30 -60 -90 # 我们可以建立直角三角关系 #R = 2R#.
注意角度相反 #R· 是 #30 # 因为等边三角形 #60 # 角度被一分为二。
这个相同的三角形可以通过毕达哥拉斯定理来解决，表明等边三角形的边长的一半是 #sqrt（R ^ 2-R ^ 2）= SQRT（4R ^ 2-R ^ 2）= rsqrt3#.
现在检查等边三角形的一半作为直角三角形，我们看到了高度 #H# 对于等边三角形，可以求解 #R· 使用这种关系 #tan（60 ）= H /（rsqrt3）#。以来 #tan（60 ）= sqrt3#，这变成了 #H /（rsqrt3）= sqrt3# 所以 #H = 3R#.
那么等边三角形的面积就是 #1 /#2BH，它的基础是 #2rsqrt3# 和它的高度 #3R#。因此，它的面积是 #1/2（2rsqrt3）（3R）= 3R ^ 2sqrt3#.
较小阴影区域的面积等于等边三角形的面积减去外圈的面积的三分之一，或 #1/3（3R ^ 2sqrt3-PIR ^ 2）# 这相当于 #R ^ 2（（3sqrt3-π）/ 3）#.
较大圆圈的面积是 #PIR ^ 2 = PI（2R）^ 2 = 4pir ^ 2#.
较大阴影区域的面积是较大圆圈面积的三分之一减去等边三角形的面积，或者 #1/3（4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3）# 这简化了 #R ^ 2（（4PI-3sqrt3）/ 3）#.
那么阴影区域的总面积就是 #R ^ 2（（3sqrt3-π）/ 3）+ R ^ 2（（4PI-3sqrt3）/ 3）= R ^ 2（（3sqrt3-3sqrt3-π+ 4PI）/ 3）= R ^ 2（（3PI ）/ 3）= PIR ^ 2#，相当于内圈的区域。
回答：
说明：
对于等边三角形 重心，外接圆心和正中心重合.
因此，圆弧半径（R）和圆周半径（r）将具有以下关系
#R：R = 2：1 => R = 2R#
从图中可以看出，显而易见 大紫色阴影区域#= 1/3（PIR ^ 2-Δ）#
和 小紫色阴影区域#= 1/3（Δ-PIR ^ 2）#
哪里 #Delta# 代表等边三角形的面积。
所以
#color（紫色）（“BIG和SMALL紫色阴影区域的总面积”#
#= 1/3（PIR ^ 2-Δ）+1/3（Δ-PIR ^ 2）#
#= 1/3（PIR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-PIR ^ 2）#
插入R = 2r
#= 1/3（PI（2R）^ 2-PIR ^ 2）#
#= 1/3（4pir ^ 2-PIR ^ 2）#
#= 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2#
#= pir ^ 2-> color（orange）“黄色条纹圆的面积”#
