如果8k ^ 2 = 1，证明曲线x = y ^ 2和xy = k以直角切割？

回答：

#-1#

说明：

#8k ^ 2 = 1#

#k ^ 2 = 1/8#

#k = sqrt（1/8）#

#x = y ^ 2#, #xy = sqrt（1/8）#

这两条曲线是

#x = y ^ 2#

和

#x = sqrt（1/8）/ y或x = sqrt（1/8）y ^ -1#

为曲线 #x = y ^ 2#，关于的衍生物 #Y# 是 #2Y#.

为曲线 #x = sqrt（1/8）y ^ -1#，关于的衍生物 #Y# 是 #-sqrt（1/8）Y ^ -2#.

两条曲线相遇的点是 #y ^ 2 =（sqrt（1/8））/ y#.

#y ^ 2 =（sqrt（1/8））/ y#.

#y ^ 3 = sqrt（1/8）#

#y = sqrt（1/2）#

以来 #x = y ^ 2#, #x = 1/2#

曲线相遇的点是 #（1/2，sqrt（1/2））#

什么时候 #y = sqrt（1/2）#, #2y = 2sqrt（1/2）#.

曲线的切线渐变 #x = y ^ 2# 是 #2sqrt（1/2），或2 /（sqrt2）#.

什么时候 #y = sqrt（1/2）#, #-sqrt（1/8）y ^ -2 = -2sqrt（1/8）#.

曲线的切线渐变 #xy = sqrt（1/8）# 是 #-2sqrt（1/8），或-2 /（sqrt8）#.

#（2 / sqrt2）* -2 /（sqrt * 8）= -4 /（sqrt16）= -4/4 = -1#

我们寻求的条件 #K# 这样的曲线 #X = Y ^ 2# 和 #XY = K# “以直角切割”。在数学上，这意味着曲线应该是正交的，这反过来意味着在所有点处曲线的切线处于 任何 给定点是垂直的。

如果我们检查各种值的曲线族 #K# 我们得到：

我们立即注意到我们正在寻找切线垂直的单个点，因此通常曲线在所有点都不是正交的。

首先让我们找到 单 坐标， P |，交叉点，这是同时解决：

#{（y ^ 2 = x，…… A），（xy = k，…… B）：}#

将Eq A代入B我们得到：

#（y ^ 2）y = k => y ^ 3 = k => y = root（3）（k）#

所以我们建立交叉点坐标：

#P（k ^（2/3），k ^（1/3））#

我们还需要此坐标处的切线渐变。对于第一条曲线：

#y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1#

所以切线的梯度， #M_1#，到第一条曲线 P | 是：

#（2k ^（1/3））m_1 = 1 => m_1 = 1 /（2k ^（1/3））= 1 / 2k ^（ - 1/3）#

同样，对于第二条曲线：

#xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2#

所以切线的梯度， #M_2#，到第二条曲线 P | 是：

#m_2 = -k /（k ^（2/3））^ 2#

# = -k ^（ - 1/3）#

如果这两条切线是垂直的，那么我们要求：

#m_1m_2 = -1#

#:. （1 / 2k ^（ - 1/3））（-k ^（ - 1/3））= -1#

#:. k ^（ - 2/3）= 2#

#:. （k ^（ - 2/3））^（3/2）= 2 ^（3/2）#

#:. k ^（ - 1）= 2 ^（3/2）#

#:. （1 / k）^ 2 = 2 ^ 3#

#:. 1 / k ^ 2 = 8#

导致给定的结果：

质voltage#8写^ video = 1 zi QED

而且有了这个价值 #K#