回答：
尝试改变 #x = tan u#
见下文
说明：
我们知道 #1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u#
通过提出的改变我们有
#dx = sec ^ 2u du#。让我们替换积分
#intdx /（1 + x ^ 2）^（3/2）= intsec ^ 2u /（1 + tan ^ 2u）^（3/2）du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu =西努+ C#
因此，撤消更改：
#U = arctanx# 最后我们有
#sin u + C = sin（arctanx）+ C#
回答：
#COLOR（蓝色）（intdx /（1 + X ^ 2）^（3/2）= X / SQRT（1 + X ^ 2）+ C）#
说明：
让我们尝试使用三角替换来解决这个积分。为此，我们将构建一个直角三角形 #Delta ABC# 并以这样的方式标记边，即使用毕达哥拉斯公式，我们可以推导出我们目前在积分论证中看到的表达式如下：
角度 #/ _ B = THETA# 有相反的一面 #X# 和相邻的一面 #1#。使用毕达哥拉斯公式：
#（BC）^ 2 =（AB）^ 2 +（AC）^ 2# 结果是：
#（BC）^ 2 = 1 ^ 2 + X ^ 2 = 1 + X ^ 2#
#BC = SQRT（1 + X ^ 2# 如图所示。
现在，让我们编写三个最基本的三角函数 ##THETA:
#sintheta = X / SQRT（1 + X ^ 2）#
#costheta = 1 / SQRT（1 + X ^ 2）#
#tantheta = X / 1 = X#
现在我们需要使用这些方程来求解三角项中的各个积分参数。我们来使用吧 #tantheta#:
#tantheta = X#
让我们来看看双方的衍生品：
#sec ^ 2 theta d theta = dx#
来自 #costheta# 方程式，我们可以解决 #sqrt（1 + X ^ 2）#:
#sqrt（1 + X ^ 2）= 1 / costheta = sectheta#
如果我们将这个等式的两边都提升到 #3# 我们得到：
#秒^ 3theta =（SQRT（1 + X ^ 2））^ 3 =（（1 + X ^ 2）^（1/2））^ 3 =（1 + X ^ 2）^（3/2）#
现在，我们可以将我们计算出的问题替换为问题积分，将其转换为三角积分：
#intdx /（1 + x ^ 2）^（3/2）= int（sec ^ 2thetad theta）/ sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta /（secthetasec ^ 2theta）d theta = intcancelcolor（红色）（sec ^ 2theta） /（secthetacancelcolor（红色）（sec ^ 2theta））d theta = int1 / secthetad theta = int1 /（1 / costheta）d theta = intcosthetad theta = sintheta + C#
现在，我们可以替代 #sintheta# 然后把我们的答案转回到一个代数表达式 #X#:
#COLOR（蓝色）（intdx /（1 + X ^ 2）^（3/2）= X / SQRT（1 + X ^ 2）+ C）#
