直角三角形的最大边是^ 2 + b ^ 2，另一边是2ab。什么条件会使第三方成为最小的一方？

回答：

我们要求第三方是最短的 #（1 + SQRT2）| B |> ABSA> absb# （然后 #一个# 和 #B# 有相同的标志）。

直角三角形的最长边始终是斜边。所以我们知道斜边的长度是 #A ^ 2 + B ^ 2#

让未知的边长 #C。# 然后从毕达哥拉斯定理，我们知道

#（2AB）^ 2 + C ^ 2 =（A ^ 2 + B ^ 2）^ 2#

要么

#C = SQRT（（A ^ 2 + B ^ 2）^ 2-（2AB）^ 2）#

#COLOR（白色）C = SQRT（一个^ 4 + 2A ^ 2B ^ 2 + B ^ 4-4A ^ 2B ^ 2）#

#COLOR（白色）C = SQRT（一个^ 4-2A ^ 2B ^ 2 + B ^ 4）#

#COLOR（白色）C = SQRT（（A ^ 2-B ^ 2）^ 2）#

#COLOR（白色）C = A ^ 2-B ^ 2#

我们还要求所有边长都是正的，所以

#A ^ 2 + B ^ 2> 0#

#=> a！= 0或b！= 0#

#2AB> 0#

#=> a，b> 0或a，b <0#

#C = A ^ 2-B ^ 2> 0#

#<=> A ^ 2> b ^ 2#

#<=> ABSA> absb#

现在，为任何三角形，最长的一面必须要短于和其他两方。所以我们有：

#color（white）（=>）2ab +“”c color（white）（XX）> a ^ 2 + b ^ 2#

#=> 2AB +（A ^ 2-B ^ 2）> A ^ 2 + B ^ 2#

#=> 2ab颜色（白色）（XXXXXX）> 2b ^ 2#

#=> {（a> b“，”如果b> 0），（a <b“，”如果b <0）：}#

此外，第三面最小， #a ^ 2-b ^ 2 <2ab#

要么 #a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2# 要么 #a-b <sqrt2b# 要么 #a <b（1 + sqrt2）#

结合所有这些限制，我们可以推断，为了使第三方最短，我们必须有 #（1 + sqrt2）| b |> absa> absb和（a，b <0或a，b> 0）。#