什么是波函数，它的表现要求是什么，即它能够恰当地代表物理现实？

回答：

波函数是复值函数，其幅度（绝对值）给出概率分布。然而，它的行为与普通波的行为不同。

说明：

在量子力学中，我们谈论系统的状态。最简单的例子之一是可以向上或向下旋转的粒子，例如电子。当我们测量系统的旋转时，我们要么测量它是向上还是向下。我们确定测量结果的状态，我们称之为本征态（一个向上状态 #uarr# 和一个失望的国家 #darr#).

在我们衡量之前，还有一些州我们不确定测量结果。这些状态我们称之为叠加，我们可以将它们写成 #A * uarr + B * darr#。我们在这里 #| A | ^ 2# 测量的概率 #uarr#，和 #| B | ^ 2# 测量的概率 #darr#。这当然意味着 #| A | ^ 2 + | B | ^ 2 = 1#。我们允许 #A，B# 为了得到复数，这个例子的原因并不是很清楚，但是在波函数的背景下它会更清楚。最重要的是，有多个状态而不是一个给出相同的概率来测量自旋。

现在我们可以尝试为这个自旋状态分配一个函数。由于旋转测量只有两个结果，我们有一个只有两个可能输入的函数。如果我们调用该函数 #PSI# （这是一个非常传统的用于wavefuntion的符号），我们设置 #psi（uarr）= A# 和 #psi（darr）= B#.

现在我们转向波函数。粒子的一个方面当然是它的位置。就像在旋转的情况下一样，我们可以测量位置的不同值，并且我们可以具有预先未确定测量结果的状态。由于我们有一个无数无限数量的粒子所在的位置，所以写下这个状态为 #A * “这里” + B * “有” # 不会这样做。但是，我们上面使用的功能的想法确实如此。所以对于任何位置 #X#，我们有一个复杂的价值 #psi（x）的#。粒子的概率密度函数现在由下式给出 #| PSI（x）|的^ 2#.

平心而论，历史上波函数的概念比旋转的概念要早，但我认为理解旋转的概念在一定程度上有助于理解波函数。

首先，为什么波函数复数值得重视？第一个原因可以在干涉的概念中找到。粒子的波函数可以干扰自身。这种干扰与添加波函数有关，如果波函数在某一点给出相同的绝对值，则测量该点周围的粒子的概率是相似的。然而，函数值可以是不同的，如果它们是相同的，将它们相加将使振幅或概率密度为4（#|2|^2#）时间更大（建设性干扰），如果它们因符号不同而相互抵消（破坏性干扰）。然而，也可以通过例如因素而不同 #一世#，意味着概率密度变为 #2# 那个时候更大。我们知道所有这些干扰都可能发生。因此，这指向如前所述的复值波函数。

第二个原因可以在薛定谔方程中找到。最初人们认为这些波函数就像经典波一样。然而，当薛定谔试图描述这些波的行为，或者至少是它们随时间的演变时，他发现控制经典波的方程并不充分。为了使它起作用，他必须在方程中引入一个复数，得出结论：函数本身也必须是复杂的，并且方程中出现的导数的顺序不同于经典的波动方程。

方程中的这种差异也回答了你的第二个问题。由于波函数的演化与经典波的演化差异很大，我们不能使用我们在经典波动物理学中使用的相同方法。你当然可以使用几何参数，但它不足以描述量子物理学中的所有现象。此外，即使波函数提供了关于粒子状态的大量信息，它也没有告诉你它的旋转，因为可观察的旋转和位置与彼此没什么关系。

也许我正在错误地解释你所说的几何本质。你能举一个你的意思吗？也许那时我可以帮助你。

该 波函数 表示量子力学系统的状态，例如原子或分子。

它可以表示为 #PSI#， 时间无关 波函数，或 #幽#， 取决于时间的 波函数。

因为 波 功能显然代表一个行为像一个系统 波 （这不是巧合，它被称为 波 功能！），我们通常会期待一个 无限制 波函数没有边界。考虑一下这个事实 #sinx的# 和 #cosx#，两个明显是波浪的功能，有两个领域 #（ - 指路）#.

示例：轨道的波函数

但是，让我们以轨道为例。必须有一套 边界条件 对于轨道，因为轨道明显不是无限大。

波函数可以描绘出 原子轨道的线性组合 形成分子轨道：

#color（蓝色）（psi _（“MO”））= sum_（i）c_iphi_i ^“AO”#

#= color（蓝色）（c_1phi_（1s）+ c_2phi_（2s）+ c_3phi_（2px）+ c_4phi_（2py）+ c_5phi_（2pz）+ …）#）

哪里 #C_I# 是个 膨胀系数 表明每个原子轨道对所讨论的特定分子轨道的贡献，和 #phi_i ^ “AO” # 是个 实验/试验波函数 对于每个原子轨道。

由于波函数必须能够表示轨道，因此它必须具有正半径（#r> 0#）波函数必须是 单 -valued， 关闭 , 连续 , 正交 所有相关的波函数，和 normalizable .

换句话说，它必须通过垂直线测试，在曲线下有一个有限区域，没有跳跃/不连续/渐近线/断点，并满足以下两个方程：

#int_“allspace”psi_A ^“*”psi_Bd tau = 0#

（波函数及其复共轭的积分是 #0# 如果波函数不同）

#int_“allspace”psi_A ^“*”psi_Ad tau = 1#

（波函数及其复共轭的积分被归一化，使得它等于 #1# 如果波函数除了符号之外是相同的 #的PMI#)

氢原子球坐标中波函数的一个示例方程是：

#color（蓝色）（psi_（2pz）（r，theta，phi））= R_（21）（r）Y_（1）^（0）（theta，phi）#

#=颜色（蓝色）（1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^（“3/2”）（（Zr）/（a_0））e ^（ - Zr // 2a_0）costheta） #

想一想，我实际上花了很多时间来规范化。我甚至花时间检查其他两个正交性 #2P# 波函数。 ：P

以防万一，这是我在Scratchpads上面链接的附录。

#' '#

正常化

该 #2p_z# 原子轨道波函数是：

#psi_（2PZ）#

#= R_（nl）（r）Y_（1）^（m）（theta，phi）= R_（21）（r）Y_（1）^（0）（theta，phi）#

#= 1 / sqrt（32pi）（Z /（a_0））^（3/2）（Zr）/（a_0）e ^（ - （Zr）/（2a_0））costheta#

（麦考恩）

是个 #2p_z# 波函数 真 标准化？让我们发现！

# mathbf（int_（0）^（oo）R_（nl）^“*”（r）R_（nl）（r）r ^ 2dr int_（0）^（pi）Y_（l）^（m）（ theta，phi）sintheta int_（0）^（2pi）dphi stackrel（？）（=）1）#

#1 / sqrt（32pi）（Z /（a_0））^（5/2） ^ 2 int_（0）^（oo）e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4dr int_（0 ）^（pi）sinthetacos ^ 2thetad theta int_（0）^（2pi）dphi stackrel（？）（=）1#

#color（绿色）（1 /（32pi）（Z / a_0）^ 5 int_（0）^（oo）e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4dr stackrel（=“2/3”） （overbrace（int_（0）^（pi）sinthetacos ^ 2thetad theta））stackrel（= 2pi）（overbrace（int_（0）^（2pi）dphi））stackrel（？）（=）1）#

现在，只检查径向部分，这是疯狂的部分……让零件集成按部件开始！

波函数径向分量的评估

第1部分

#int_（0）^（oo）e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4dr#

让：

#u = r ^ 4#

#dv = e ^（ - （Zr）/（a_0））dr#

#v = - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））#

#du = 4r ^ 3dr#

#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3dr#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - 4int e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3dr}#

第2部分

让：

#u = r ^ 3#

#dv = e ^（ - （Zr）/（a_0））dr#

#v = - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））#

#du = 3r ^ 2dr#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - 4 - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 - 3int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2dr}#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 - 3int e ^ （ - （Zr）/（a_0））r ^ 2dr}#

第3部分

让：

#u = r ^ 2#

#dv = e ^（ - （Zr）/（a_0））dr#

#v = - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））#

#du = 2rdr#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 - 3 - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 2int - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））rdr}#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 +（3a_0） / Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 2int e ^（ - （Zr）/（a_0））rdr}#

第4部分

让：

#u = r#

#dv = e ^（ - （Zr）/（a_0））dr#

#v = - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））#

#du = dr#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 +（3a_0） / Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 2 { - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r - int - （a_0）/ Ze ^（ - （锆）/（A_0））博士}}#

#= - （a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 +（4a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 +（3a_0） / Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 +（2a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r - int e ^（ - （Zr）/（a_0 ））博士}}#

扩展/ SIMPLIFICATION

#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - 4（（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 3 + （3a_0）/ Z e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 +（2a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r +（a_0）/ Ze ^（ - （锆）/（A_0））}#

#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - （（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3 - 12（ （a_0）/ Z）^ 3 e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - （2a_0）/ Z {e ^（ - （Zr）/（a_0））r +（a_0）/ Ze ^（ - （锆）/（A_0））}#

#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - （（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3 - 12（ （a_0）/ Z）^ 3e ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 2 - 24（（a_0）/ Z）^ 4 {e ^（ - （Zr）/（a_0））r +（a_0 ）/泽^（ - （锆）/（A_0））}#

#= - （a_0）/ Ze ^（ - （Zr）/（a_0））r ^ 4 - （（a_0）/ Z）^ 2 e ^（ - （Zr）/（a_0））4r ^ 3 - （（ a_0）/ Z）^ 3e ^（ - （Zr）/（a_0））12r ^ 2 - （（a_0）/ Z）^ 4e ^（ - （Zr）/（a_0））24r - 24（（a_0）/ Z）^ 5 e ^（ - （Zr）/（a_0））#

评估 - 就绪表格

#= | -e ^（ - （Zr）/（a_0））（a_0）/ Z r ^ 4 + 4（（a_0）/ Z）^ 2 r ^ 3 + 12（（a_0）/ Z）^ 3 r ^ 2 + 24（（a_0）/ Z）^ 4 r + 24（（a_0）/ Z）^ 5 | _（0）^（oo）#

上半场取消了 成为 #0#:

#= cancel（{ - e ^（ - （Zoo）/（a_0））（a_0）/ Z oo ^ 4 + 4（（a_0）/ Z）^ 2 oo ^ 3 + 12（（a_0）/ Z） ^ 3 oo ^ 2 + 24（（a_0）/ Z）^ 4 oo + 24（（a_0）/ Z）^ 5}）^（0） - {-e ^（ - （Z（0））/（ a_0））（a_0）/ Z（0）^ 4 + 4（（a_0）/ Z）^ 2（0）^ 3 + 12（（a_0）/ Z）^ 3（0）^ 2 + 24（（ a_0）/ Z）^ 4（0）+ 24（（a_0）/ Z）^ 5}#

下半场简化了下来 成为 #1 *（0 + 0 + 0 + 0 + 24（（A_0）/（Z））^ 5）#:

#=取消（e ^（ - （Z（0））/（a_0）））^（1）取消（（a_0）/ Z（0）^ 4）^（0）+取消（4（（a_0） / Z）^ 2（0）^ 3）^（0）+取消（12（（a_0）/ Z）^ 3（0）^ 2）^（0）+取消（24（（a_0）/ Z）^ 4（0））^（0）+ 24（（a_0）/ Z）^ 5#

#= 24（a_0 / Z）^ 5#

现在，让我们重新审视整个波函数……

#psi_（2PZ）#

#= 1 /（32pi）（Z / a_0）^ 5（24（a_0 / Z）^ 5）（2/3）（2pi）stackrel（？）（=）1#

#= 1 /（取消（32）取消（pi））取消（（Z / a_0）^ 5）（取消（16）取消（（a_0 / Z）^ 5））（取消（2）取消（pi）） stackrel（？）（=）1#

#color（蓝色）（1 = 1）#

是！一个人等于一个人！ 我的意思是…

波函数确实正常化了！ ：d

证明2p波函数的相互正交性

让我们选择以下波函数：

#psi_（2px）= 1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^“3/2”（Zr）/（a_0）e ^（ - “Zr /”2a_0）sinthetacosphi#

#psi_（2py）= 1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^“3/2”（Zr）/（a_0）e ^（ - “Zr /”2a_0）sinthetasinphi#

#psi_（2pz）= 1 /（sqrt（32pi））（Z /（a_0））^“3/2”（Zr）/（a_0）e ^（ - “Zr /”2a_0）costheta#

为了显示它们是正交的，我们需要至少显示其中一个：

#int _（“all space”）psi_（2px）^“*”psi_（2pz）d tau = 0#

从感应开始，我们可以暗示其余的，因为径向分量是相同的。换一种说法：

# mathbf（int_（0）^（oo）R_（nl，2px）^“*”（r）R_（nl，2pz）（r）r ^ 2dr int_（0）^（pi）Y_（l）^ （m）（s）sintheta int_（0）^（2pi）Y_（l）^（m）（phi）dphi stackrel（？）（=）0）#

#color（绿色）（1 /（32pi）（Z /（a_0））^ 5 int_（0）^（oo）e ^（ - “Zr /”a_0）r ^ 4dr int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta int_（0）^（2pi）cosphidphi stackrel（？）（=）0）#

径向部分证明是 #24（（a_0）/ Z）^ 5#。那么，让我们评估角度部分。

该 ##THETA 一部分：

#color（绿色）（int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta）#

让：

#u = sintheta#

#du = costhetad theta#

#= int_（0）^（pi）u ^ 2du#

#= 1/3 * | sin ^ 3theta | _（0）^（pi）#

#= 1/3 * sin ^ 3（pi） - sin ^ 3（0）#

#= 1/3 * 0 - 0 =颜色（绿色）（0）#

而现在 ##披 一部分：

#color（绿色）（int_（0）^（2pi）cosphidphi）#

#= | sinphi | _（0）^（2pi）#

#= sin（2pi） - sin（0）#

让：

#u = sintheta#

#du = costhetad theta#

#= int_（0）^（pi）u ^ 2du#

#= 0 - 0 =颜色（绿色）（0）#

因此，我们总体而言：

#color（蓝色）（1 /（32pi）（Z /（a_0））^ 5 int_（0）^（oo）e ^（ - “Zr /”a_0）r ^ 4dr int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta int_（0）^（2pi）cosphidphi）#

#=取消（1 /（32pi）（Z /（a_0））^ 5（24）（（a_0）/ Z）^ 5（0）（0））^（0）#

#=颜色（蓝色）（0）#

以来

#int _（“all space”）psi_（2px）^“*”psi_（2pz）d tau = 0#

该 #2p_z# 和 #2p_x# 原子轨道是正交的。

真的，与使用的主要区别 #2p_y# 等式是你得到：

#color（绿色）（“常量”int_（0）^（oo）“相同的东西”dr int_（0）^（pi）sin ^ 3thetad theta int_（0）^（2pi）sinphicosphidphi stackrel（？）（=） 0）#

所以：

#color（蓝色）（int_（0）^（2pi）sinphicosphidphi）#

#= 1/2 | sin ^ 2phi | _（0）^（2pi）#

#= 1/2 sin ^ 2（2pi） - sin ^ 2（0） =颜色（蓝色）（0）#

从倍增 #0# 通过其他积分，整个积分消失了：

#int _（“all space”）psi_（2px）^“*”psi_（2py）d tau = 0#

就这样 #2p_x# 和 #2p_y# 原子轨道是正交的。

最后，为了 #2p_y# 与…相对 #2p_z#:

#color（绿色）（“常量”int_（0）^（oo）“相同的东西”dr int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta int_（0）^（2pi）sinphidphi stackrel（？）（=） 0）#

我们知道 ##THETA 从以前积分：

#color（蓝色）（int_（0）^（pi）sin ^ 2thetacosthetad theta）#

#= 1/3 * | sin ^ 3theta | _（0）^（pi）#

#= 1/3 * sin ^ 3（pi） - sin ^ 3（0）#

#= 1/3 * 0 - 0 =颜色（蓝色）（0）#

所以整体积分再次消失，而且确实是 #2p_y# 和 #2p_z# 轨道也是正交的！