数字90 ^ 9有1900个不同的正整数除数。这些中有多少是整数的平方？

回答：

哇 - 我回答我自己的问题。

说明：

事实证明，该方法是组合学和数论的结合。我们从保理开始 #90^9# 进入其主要因素：

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

这里的技巧是弄清楚如何找到整数的平方，这是相对简单的。从这个分解可以以各种方式生成整数的正方形：

#5^9*3^18*2^9#

我们可以看到 #5^0#例如，是一个整数的平方和一个除数 #90^9#;同样， #5^2#, #5^4#,#5^6#，和 #5^8# 所有人都满足这些条件。因此，我们有5种可能的方法来配置除数 #90^9# 这是一个整数的平方，仅使用5s。

同样的理由适用于 #3^18# 和 #2^9#。这些素因子的每个偶数幂 - 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18（总共10个）3和0,2,4,6,8（总共5个）2 - 是一个完美的广场，是一个除数 #90^9#。此外， 任何组合 这些具有均等权力的主要除数也满足条件。例如， #(2^2*5^2)^2# 是一个整数的平方，就是这样 #(3^8*2^4)^2#;两者都是由…的除数组成的 #90^9#，也是除数 #90^9#.

因此，所需的整数平方数是除数 #90^9# 是（谁）给的 #5*10*5#，这是每个素因子的可能选择的乘积（5表示5，10表示3，5表示2）。这等于 #250#，这是正确的答案。