会聚系列有哪些例子？

回答：

以下是三个重要的例子……

说明：

几何系列

如果 #abs（r）<1# 那么几何系列的总和 #a_n = r ^ n a_0# 收敛：

#sum_（n = 0）^ oo（r ^ n a_0）= a_0 /（1-r）#

指数函数

系列定义 #E 1 X# 对任何价值都是收敛的 #X#:

#e ^ x = sum_（n = 0）^ oo x ^ n /（n！）#

为了证明这一点，任何给定的 #X#，让 #N# 是一个大于的整数 #abs（x）的#。然后 #sum_（n = 0）^ N x ^ n /（n！）# 收敛，因为它是一个有限的和 #sum_（n = N + 1）^ oo x ^ n /（n！）# 因为连续项的比率的绝对值小于，所以收敛 #abs（x）/（N + 1）<1#.

巴塞尔问题

巴塞尔问题于1644年提出并由欧拉在1734年解决，它要求正整数平方倒数之和的值：

#sum_（n = 1）^ oo 1 /（n ^ 2）= pi ^ 2/6#