我该如何解决这个等式？

回答：

#“看到解释”#

说明：

#“首先运用理性根定理来寻找理性根。”#

#“我们发现”x = 1“为理性根。”#

#“所以”（x-1）“是一个因素。我们将这个因素分开：”#

#3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 =（x-1）（3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2）#

#“我们有一个没有理性根的剩余三次方程式。”#

#“我们可以用Vieta方法替代它来解决它。”#

#x ^ 3 - （2/3）x ^ 2 - （2/3）x - 2/3 = 0#

#“替代”x = y + 2/9“。然后我们得到”#

#y ^ 3 - （22/27）y - （610/729）= 0#

#“替代”y =（sqrt（22）/ 9）z“。然后我们得到”#

#z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0#

#“替代”z = t + 1 / t“。然后我们得到”#

#t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0#

#“代替”u = t ^ 3“，得到二次方程：”#

#u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0#

#“这个二次方程的根是u = 5.73717252。”#

#“替换变量，产量：”#

#t = root（3）（u）= 1.79019073#

#z = 2.34879043。#

#y = 1.22408929。#

#x = 1.44631151。#

#“其他根源很复杂：”#

#-0.38982242 pm 0.55586071我。#

#“（他们可以通过分开来找到”（x-1.44631151））#

回答：

理性的实际零点是 #X = 1#.

然后有一个不合理的真零：

#x_1 = 1/9（2 + root（3）（305 + 27sqrt（113））+ root（3）（305-27sqrt（113）））#

和相关的非真实复杂零点。

说明：

鉴于：

#3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0#

注意，系数的总和是 #0#.

那是： #3-5+2 = 0#

因此，我们可以推断出这一点 #X = 1# 是零和 #（X-1）# 一个因素：

#0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2#

#color（white）（0）=（x-1）（3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2）#

剩下的立方体有点复杂……

鉴于：

#f（x）= 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2#

Tschirnhaus转型

为了使求解立方的任务更简单，我们使用称为Tschirnhaus变换的线性替换使立方更简单。

#0 = 243f（X）= 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486#

#=（9X-2）^ 3-66（9X-2）-610#

#= T ^ 3-66t-610#

哪里 #T =（9X-2）#

卡尔达诺的方法

我们要解决：

#吨^ 3-66t-610 = 0#

让 #吨= U + V#.

然后：

#ü^ 3 + V ^ 3 + 3（UV-22）（U + V）-610 = 0#

添加约束 #V = 22 / U# 消除 #（U + V）# 期限和得到：

#ü^ 3 + 10648 / U ^ 3-610 = 0#

乘以 #ü^ 3# 并重新排列以获得：

#（U ^ 3）^ 2-610（U ^ 3）+ 10648 = 0#

使用二次公式查找：

#Ù^ 3 =（610 + -sqrt（（ - 610）^ 2-4（1）（10648）））/（2 * 1）#

#=（610 + -sqrt（372100-42592））/ 2#

#=（610 + -sqrt（329508））/ 2#

#=（610 + -54sqrt（113））/ 2#

#= 305 + -27sqrt（113）#

由于这是真实的，并且推导是对称的 #U# 和 ·V#，我们可以使用其中一个根 #ü^ 3# 和另一个 ·V ^ 3# 找到真正的根：

#T_1 =根（3）（305 + 27sqrt（113））+根（3）（305-27sqrt（113））#

和相关的复杂根源：

#t_2 =欧米茄root（3）（305 + 27sqrt（113））+ omega ^ 2 root（3）（305-27sqrt（113））#

#t_3 = omega ^ 2 root（3）（305 + 27sqrt（113））+ omega root（3）（305-27sqrt（113））#

哪里 #欧米加= -1 / 2 + SQRT（3）/ 2I# 是原始的复杂立方根 #1#.

现在 #x的= 1/9（2 + t）的#。所以我们原始立方体的根源是：

#x_1 = 1/9（2 + root（3）（305 + 27sqrt（113））+ root（3）（305-27sqrt（113）））#

#x_2 = 1/9（2 + omega root（3）（305 + 27sqrt（113））+ omega ^ 2 root（3）（305-27sqrt（113）））#

#x_3 = 1/9（2 + omega ^ 2 root（3）（305 + 27sqrt（113））+ omega root（3）（305-27sqrt（113）））#