回答：
通过归纳证明如下。
说明：
让我们通过归纳来证明这种身份。
A.为 #n = 1的# 我们要检查一下
#（2cos（2theta）+1）/（2cos（theta）+1）= 2cos（theta）-1#
的确，使用身份 #cos（的2θ）= 2COS ^ 2（THETA）-1#，我们看到了
#2cos（2θ）+1 = 2（2cos ^ 2（θ）-1）+ 1 = 4cos ^ 2（θ）-1 =#
#=（2COS（THETA）-1）*（2COS（THETA）+1）#
从那以后
#（2cos（2theta）+1）/（2cos（theta）+1）= 2cos（theta）-1#
因此对于 #n = 1的# 我们的身份是正确的。
B.假设身份是真实的 #N#
所以，我们假设
#（2cos（2 ^ ntheta）+1）/（2cos（theta）+1）= Pi _（j in 0，n-1）2cos（2 ^ jtheta）-1#
（符号 #PI# 用于产品）
C.使用上面的假设B，让我们证明身份 #N + 1#
我们必须证明从假设B开始
#（2cos（2 ^（n + 1）theta）+1）/（2cos（θ）+1）= Pi _（j in 0，n）2cos（2 ^ jtheta）-1#
（注意乘法索引的右边界是 #N# 现在）。
证明
使用身份 #cos（2×）= 2COS ^ 2（x）的-1# 对于 #X = 2 ^ ntheta#, #2cos（2 ^（n + 1）theta）+1 = 2cos（2 *（2 ^ n * theta））+ 1 =#
#= 2 2cos ^ 2（2 ^ ntheta）-1 +1 =#
#= 4cos ^ 2（2 ^ ntheta）-1 =#
#= 2cos（2 ^ ntheta）-1 * 2cos（2 ^ ntheta）+1#
将开始和结束表达式除以 #2COS（THETA）+1#，得到
#2cos（2 ^（n + 1）theta）+1 / 2cos（theta）+1 =#
#= 2cos（2 ^ ntheta）-1 * 2cos（2 ^ ntheta）+1 / 2cos（θ）+1#
现在我们使用假设B得到
#2cos（2 ^（n + 1）theta）+1 / 2cos（theta）+1 =#
#= 2cos（2 ^ ntheta）-1 * Pi _（j in 0，n-1）2cos（2 ^ jtheta）-1 =#
#= Pi _（0，n中的j）2cos（2 ^ jtheta）-1#
（注意现在索引的范围扩展到 #N#).
最后一个公式完全相同 #N + 1# 原来是为了 #N#。这完成了归纳证明，我们的公式适用于任何公式 #N#.
回答：
请参阅下面的说明部分中的证明。
说明：
这相当于证明，
#（2cosx + 1）（2cosx-1）（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）=（2cos2 ^ nx + 1）#
#“The L.H.S。”= {（2cosx + 1）（2cosx-1）}（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（n-1）x-1）#
#= {4cos ^ 2X-1}（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#= {4（（1 + cos2x）/ 2）-1}（2cos2x-1）（2cos4x-1）….（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#=（2cos2x + 1）（2cos2x-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#=（4cos ^ 2（2×）-1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#=（2COS（2 * 2×）+1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#=（2cos4x + 1）（2cos4x-1）…（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#=（2cos8x + 1）…（2cos2 ^（N-1）X-1）#
#vdots#
#= {2COS（2 * 2 ^（N-1）X）+1）}#
#=（2cos2 ^ NX + 1）#
#=“R.H.S。”#
享受数学。！
