回答：
切线平行于 #X# 斜率时的轴（因此 #DY / DX#）为零并且与…平行 #Y# 斜率轴（再次， #DY / DX#）去 #OO# 要么 #-oo#
说明：
我们首先要找到 #DY / DX#:
#x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7#
#d / dx（x ^ 2 + xy + y ^ 2）= d / dx（7）#
#2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0#
#dy / dx = - （2x + y）/（x + 2y）#
现在， #dy / dx = 0# 当nuimerator是 #0#，只要这也不是分母 #0#.
#2X + Y = 0# 什么时候 #y = -2x#
我们现在有两个方程式：
#x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7#
#y = -2x#
解决（通过替换）
#x ^ 2 + x（-2x）+（ - 2x）^ 2 = 7#
#x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7#
#3x ^ 2 = 7#
#x = + - sqrt（7/3）= + - sqrt21 / 3#
运用 #y = -2x#，我们得到
曲线的切线在两点处是水平的：
#（sqrt21 / 3， - （2sqrt21）/ 3）# 和 #（ - sqrt21 / 3，（2sqrt21）/ 3）#
（观察这些对也不会成为分母 #DY / DX# 等于 #0#)
要找到切线垂直的点，请将分母设为 #DY / DX# 等于tpo #0# （也没有制作分子 #0#).
我们可以通过解决方案，但我们将获得的等式的对称性：
#X = -2y#所以
#y = + - sqrt21 / 3#
并且切线垂直的曲线上的点是：
#（ - （2sqrt21）/ 3，sqrt21 / 3）# 和 #（（2sqrt21）/ 3，-sqrt21 / 3）#
顺便说说。因为我们有这项技术，这里是这个旋转椭圆的图形:(注意 #+ - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528# 您可以在图表上看到。）
图{x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3,11.2，-5.665,5.585}
回答：
我只使用中学数学
平行于x轴的切线：
#（ - sqrt {7/3}，2sqrt {7/3}）和（sqrt {7/3}， - 2qq {7/3}）#
切线平行于y轴：
#（ - 2sqrt {7/3}，sqrt {7/3}）和（2sqrt {7/3}， - sq {7/3}）#
说明：
我瞥了一眼Jim的答案，看起来像是一个很好的标准微积分处理。但我不禁为在苏格拉底地区的所有中学生感到悲伤，他们想找到代数曲线的切线，但距离微积分还有几年的时间。
幸运的是，他们只能使用代数I来解决这些问题。
#的x ^ 2 + XY + Y ^ 2 = 7#
对于第一个例子，这可能有点复杂，但让我们继续吧。我们把曲线写成 #F（X，Y）= 0# 哪里
#f（x，y）= x ^ 2 + xy + y ^ 2-7#
让我们来 #（R，S）# 作为一个观点 #F#。我们想调查一下 #F# 近 #（R，S）# 所以我们写
#f（x，y）= f（r +（x-r），s +（y-s））#
#=（r +（x-r））^ 2 +（r +（x-r））（s +（y-s））+（s +（y-s））^ 2-7#
我们扩展，但我们不扩大差异条款 #X-R# 和 #y的-S#。我们希望保持这些完好无损，以便我们可以尝试稍后删除一些。
#f（x，y）= r ^ 2 + 2r（xr）+（xr）^ 2 +（rs + s（xr）+ r（ys）+（xr）（ys））+ s ^ 2 + 2s（ ys）+（ys）^ 2-7#
#=（r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7）+（2r + s）（xr）+（2s + r）（ys）+（xr）^ 2 +（ys）^ 2 +（xr）（ YS）#
#= f（r，s）+（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2 +（y-s）^ 2 +（x-r）（y-s）#
我们说 #（R，S）# 是的 #F# 所以 #F（R，S）= 0#.
#f（x，y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2 +（y-s）^ 2 +（x-r）（y-s）#
我们按度数对术语进行了排序，我们可以尝试近似值 #F# 近 #（R，S）# 通过降低更高的学位。这个想法是什么时候 #（X，Y）# 近 #（R，S）# 然后 #X-R# 和 #y的-S# 很小，他们的正方形和产品仍然较小。
让我们生成一些近似值 #F#。以来 #（R，S）# 在曲线上，常数近似，丢弃所有差异项，是
#f_0（x，y）= 0#
这不是特别令人兴奋，但它正确告诉我们附近的点 #（R，S）# 将给出接近零的值 #F#.
让我们变得更有趣并保持线性项。
#f_1（x，y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）#
当我们将其设置为零时，我们得到最佳线性近似值 #F# 近 #（R，S），# 哪一个是 切线 至 #F# 在 #（R，S）。# 现在我们到了某个地方。
#0 =（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）#
我们也可以考虑其他近似值：
#f_2（x，y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2#
#f_3（x，y）=（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）+（x-r）^ 2 +（x-r）（y-s）#
这些是高阶切线，是大学数学学生难以达到的切线。我们已经超越了大学微积分。
有更多的近似值，但我被警告这是越来越长。现在我们学会了如何仅使用代数I进行微积分，让我们来解决问题。
我们想要找到切线与其平行的点 #X# 轴和 #Y# 轴。
我们找到了切线 #（R，S）# 是
#0 =（2r + s）（x-r）+（2s + r）（y-s）#
平行于 #X# 轴表示方程式 #y = text {constant}#。所以系数就可以了 #X# 必须为零：
#2r + s = 0#
#s = -2r#
#（R，S）# 是这样的曲线 #F（R，S）= 0#:
#r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0#
#r ^ 2 + r（-2r）+（ - 2r）^ 2 - 7 = 0#
#r = pm sqrt {7/3}#
以来 #S = -2r# 要点是
#（ - sqrt {7/3}，2sqrt {7/3}）和（sqrt {7/3}， - 2qq {7/3}）#
类似地，与y轴平行意味着 #2S + R = 0# 由于问题的对称性，它应该只交换x和y。所以其他要点是
#（ - 2sqrt {7/3}，sqrt {7/3}）和（2sqrt {7/3}， - sq {7/3}）#
校验。
怎么检查？我们来做Alpha图。
plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7，x = -sqrt {7/3}，y = 2 sqrt {7/3}，x = 2sqrt {7/3}，y = -sqrt {7/3 }
看起来不错。代数曲线上的微积分。非常适合中学。
