Psi_A（x，0）= sqrt（1/6）phi_0（x）+ sqrt（1/3）phi_1（x）+ sqrt（1/2）phi_2（x）计算期望值在任何后来的时间t = t_1，phi_n是无限势阱的能量本征函数。用E_0来表示答案？

好吧，我明白了 #14 /#5E_1…并且根据您选择的系统，它不能重新表达 #E_0#.

在这个问题上有很多量子力学规则被打破了……

该 #phi_0#，因为我们正在使用无限潜在的井解决方案，自动消失…… #n = 0#所以 #sin（0）= 0#.

对于背景，我们已经让 #phi_n（x）= sqrt（2 / L）sin（（npix）/ L）#…

它是 不可能 写下答案 #E_0# 因为 #n = 0# 对于无限潜力井不存在。除非你想要粒子消失，我必须用它来写 #E_n#, #n = 1,2,3,. 。。 #…
能量是运动的常数，即 #（d << E >>）/（dt）= 0#…

所以现在……

#Psi_A（x，0）= 1 / sqrt3 sqrt（2 / L）sin（（pix）/ L）+ 1 / sqrt2 sqrt（2 / L）sin（（2pix）/ L）#

期望值是运动的常数，所以我们不关心什么时候 #T_1# 我们选择。否则，这不是一个保守的系统……

#<< E >> =（<< Psi | hatH | Psi >>）/（<< Psi | Psi >>）= E_n# 对于一些 #n = 1,2,3,. 。。 #

事实上，我们已经知道它应该是什么，因为一维无限势阱的哈密顿量是时间独立的……

#hatH =-ℏ^ 2 /（2m）（d ^ 2）/（dx ^ 2）+ 0#

#（delhatH）/（delt）= 0#

和 #（E ^（-iE_nt_http：//ℏ））^ “*”（E ^（-iE_nt_http：//ℏ））# 在积分中转到1：

#color（蓝色）（<< E >>）=（1 / 3int_（0）^（L）Phi_1 ^“*”（x，t）hatHPhi_1（x，t）dx + 1 / 2int_（0）^（ L）Phi_2 ^“*”（x，t）hatHPhi_2（x，t）dx）/（<< Psi | Psi >>）#

我们放过的地方 #Phi_n（x，t）= phi_n（x，0）e ^（ - iE_nt_http：//ℏ）#。同样，所有相位因子都被抵消了，我们注意到非对角线项由于正交性而变为零。 #phi_n#.

分母是标准 #幽#，是的

#sum_i | c_i | ^ 2 =（1 / sqrt3）^ 2 +（1 / sqrt2）^ 2 = 5/6#.

因此， #<< Psi | Psi >> = 5/6#。这给了：

#=> （1 / sqrt3）^ 2（2 / L）int_（0）^（L）sin（（pix）/ L）取消（e ^（iE_1t_http：//ℏ）） - ^ ^ 2 / （2m）（d ^ 2）/（dx ^ 2） sin（（pix）/ L）取消（e ^（ - iE_1t_http：//ℏ））dx +（1 / sqrt2）^ 2（2 / L） int_（0）^（L）sin（（2pix）/ L）取消（e ^（iE_2t_http：//ℏ）） - ^ ^ 2 /（2m）（d ^ 2）/（dx ^ 2） sin （（2pix）/ L）取消（E ^（-iE_2t_http：//ℏ））DX /（5 // 6）#

应用衍生物：

#= 6/5 1/3（2 / L）int_（0）^（L）sin（（pix）/ L）ℏ^ 2 /（2m）cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin（（ pix）/ L）dx + 1/2（2 / L）int_（0）^（L）sin（（2pix）/ L）ℏ^ 2 /（2m）cdot（4pi ^ 2）/ L ^ 2罪（（2pix）/ L）DX#

常量浮出：

#= 6/5 1/3（ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）int_（0）^（L）sin（（pix）/ L）sin（（pix）/ L ）dx + 1/2（4 ^ ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）int_（0）^（L）sin（（2pix）/ L）sin（（2pix）/ L）dx #

而且这种积分因身体原因而闻名于中间 #0# 和 #L#，独立于 #N#:

#= 6/5 1/3（ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）L / 2 + 1/2（4 ^ ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）（2 / L）L / 2#

#= 6/5 1/3（ℏ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）+ 1/2（4 ^ ^ 2pi ^ 2）/（2mL ^ 2）#

#= 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1#

#=颜色（蓝色）（14/5 E_1）#

回答：

#<E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0#

说明：

每个静止状态对应于能量特征值 #E_n# 获得相位因子 #e ^ { - iE_n t}# 按时进化。给定的状态是不静止状态 - 因为它是属于不同特征值的能量本征态的叠加。结果，它将以非平凡的方式及时发展。然而，控制状态时间演化的Schroedinger方程是线性的 - 因此每个分量能量本征函数独立演化 - 获得自己的相位因子。

所以，起始波函数

#psi_A（x，0）= sqrt（1/6）phi_0（x）+ sqrt（1/3）phi_1（x）+ sqrt（1/2）phi_2（x）#

及时发展 #T# 至

#psi_A（x，t）= sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ { - iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ { - iE_1 /ℏt} + sqrt（1 / 2）phi_2（x）e ^ { - iE_2 /ℏt}#

因此，能量期望值在时间上 #T# 是（谁）给的

#<E> = int_-infty ^ infty psi_A **（x，t）hat {H} psi_A（x，t）dx#

#= int_infty ^ infty（sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ {iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ {iE_1 /ℏt} + sqrt（1/2） phi_2（x）e ^ {iE_2ℏt}）hat {H}（sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ { - iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ { - iE_1 /ℏt} + sqrt（1/2）phi_2（x）e ^ { - iE_2 /ℏt}）dx#

#= int_-infty ^ infty（sqrt（1/6）phi_0（x）e ^ {iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）phi_1（x）e ^ {iE_1 /ℏt} + sqrt（1 / 2）phi_2（x）e ^ {iE_2 /ℏt}）次（sqrt（1/6）E_0phi_0（x）e ^ { - iE_0 /ℏt} + sqrt（1/3）E_1phi_1（x）e ^ { -iE_1 /ℏt} + sqrt（1/2）E_2phi_2（x）e ^ { - iE_2 /ℏt}）dx#

我们在哪里使用了这个事实 #phi_i（x）的# 是能量本征函数，所以 #hat {H} phi_i（x）= E_i phi_i（x）#.

这仍然给了我们九个学期。然而，由于能量本征函数是正等归一化的，因此最终的计算得到了很大的简化，即他们服从

#int_-infty ^ infty phi_i（x）phi_j（x）dx = delta_ {ij}#

这意味着在九个积分中，只有三个存活，我们得到

#<E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2#

使用标准结果 #E_n =（n + 1）^ 2 E_0#，我们有 #E_1 = 4E_0# 和 #E_2 = 9E_0# 为了无限的潜力（你可能更习惯于表达的话 #E_n propto n ^ 2# 对于一个无限的井 - 但在这些基态被标记 #E_1# - 我们在这里标注它 #E_0# - 因此改变）。从而

#<E> =（1/6倍1 + 1/3倍4 + 1/2倍9）E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0#

注意：

虽然各个能量本征函数通过获取相位因子而在时间上演变，但整体波函数 才不是 与初始的不同只是相位因子 - 这就是它不再是静止状态的原因。
所涉及的积分就像

#int_-infty ^ infty psi_i（x）e ^ {+ iE_i /ℏt} E_j psi_j e ^ { - iE_j /ℏt} dx = E_j e ^ {i（E_i-E_j）/ℏt}次int_-infty ^ infty psi_i（x）psi_j（x）dx#

这些看起来像是时间依赖的。然而，唯一幸存的积分是那些 #I = J# - 这些正是时间依赖性取消的那些。
最后的结果符合这一事实 #hat {H}# 保守 - 即使状态不是静止状态 - 能量期望值与时间无关。
原波功能已经标准化了 #（sqrt {1/6}）^ 2 +（sqrt {1/3}）^ 2 +（sqrt {1/2}）^ 2 = 1# 并且这种归一化在时间演变中得以保留。
如果我们使用标准的量子力学结果，我们可以减少很多工作 - 如果波形函数以形式扩展 #psi = sum_n c_n phi_n# 在哪里 #phi_n# 是Hermitian算子的本征函数 #hat {A}#, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n#，然后 #<hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n#当然，条件是各州都要正常化。