回答：
#int（3dx）/（x ^ 2 + x + 1）= 2sqrt3arctan（（2x + 1）/ sqrt3）+ C#
说明：
#int（3dx）/（x ^ 2 + x + 1）#
=#int（12dx）/（4x ^ 2 + 4x + 4）#
=#6int（2dx）/ （2x + 1）^ 2 + 3#
=#2sqrt3arctan（（2×+ 1）/ sqrt3）+ C#
回答：
#int 3 /（x ^ 2 + x + 1） dx = 2sqrt3tan ^ -1（（2x + 1）/ sqrt3）+ C#
说明：
每当我们在分母中有二次方而没有 #X#在分子中，我们希望得到以下形式的积分：
#int 1 /（1 + t ^ 2） dt = tan ^ -1（t）+ C#
在我们的例子中，我们可以通过完成正方形然后使用替换来完成此操作。
#的x ^ 2 + X + 1 =（X + 1/2）^ 2 + K#
#的x ^ 2 + X + 1 = X ^ 2 + X + 1/4 + K#
#K = 3/4的#
#的x ^ 2 + X + 1 =（X + 1/2）^ 2 + 3/4的#
#3int 1 /（x ^ 2 + x + 1） dx = 3int 1 /（（x + 1/2）^ 2 + 3/4） dx#
我们想引入一个u替换，以便：
#（X + 1/2）^ 2 = 3 / 4U ^ 2#
我们可以解决 #X# 找出这种替换需要的东西：
#X + 1/2 = sqrt3 / 2U#
#X = sqrt3 / 2U-1/2#
相互融合 #U#，我们乘以导数 #X# 关于 #U#:
#DX /（DU）= sqrt3 / 2#
#3int 1 /（（x + 1/2）^ 2 + 3/4） dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 /（3 / 4u ^ 2 + 3/4） du =#
#= 3 * sqrt3 / 2int 1 /（3/4（u ^ 2 + 1）） du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 /（u ^ 2 + 1） du =#
#= 2sqrt3tan ^ -1（U）+ C#
我们现在可以解决了 #U# 就……而言 #X# 重新取代：
#U =（2×+ 1）/ sqrt3#
这意味着我们的最终答案是：
#2sqrt3tan ^ -1（（2×+ 1）/ sqrt3）+ C#
