回答：
#hat（PQR）= COS ^（ - 1）（27 / sqrt1235）#
说明：
是两个向量 #vec（AB）# 和 #vec（AC）#:
#vec（AB）* vec（AC）=（AB）（AC）cos（hat（BAC））#
#=（X_（AB）X_（AC））+（Y_（AB）Y_（AC））+（Z_（AB）Z_（AC））#
我们有：
#P =（1; 1; 1）#
#Q =（ - 2; 2; 4）#
#R =（3; -4; 2）#
因此
#vec（QP）=（x_P-x_Q; y_P-y_Q; z_P-z_Q）=（3; -1; -3）#
#vec（QR）=（x_R-x_Q; y_R-y_Q; z_R-z_Q）=（5; -6; -2）#
和
#（QP）= SQRT（（X_（QP））^ 2 +（Y_（QP））^ 2 +（Z_（QP））^ 2）= SQRT（9 + 1 + 9）= SQRT（19）#
#（QR）= SQRT（（X_（QR））^ 2 +（Y_（QR））^ 2 +（Z_（QR））^ 2）= SQRT（25 + 36 + 4）= SQRT（65）#
因此：
#vec（QP）* VEC（QR）= sqrt19sqrt65cos（帽子（PQR））#
#=(3*5+(-1)(-6)+(-3)(-2))#
#rarr cos（hat（PQR））=（15 + 6 + 6）/（sqrt19sqrt65）= 27 / sqrt1235#
#rarr hat（PQR）= cos ^（ - 1）（27 / sqrt1235）#
